设矩阵B的列向量线性无关,且BA=C,则( ).

admin2017-12-18  27

问题 设矩阵B的列向量线性无关,且BA=C,则(    ).

选项 A、若矩阵C的列向量线性无关,则矩阵A的列向量线性相关
B、若矩阵C的列向量线性无关,则矩阵A的行向量线性相关
C、若矩阵A的列向量线性无关,则矩阵C的列向量线性相关
D、若矩阵C的列向量线性无关,则矩阵A的列向量线性无关

答案D

解析 设B为m×n矩阵,A为n×s矩阵,则C为m×s矩阵,且r(B)=n.
    因为BA=C,所以r(C)≤r(A),r(C)≤r(B).
    若r(C)=s,则r(A)≥s,又r(A)≤s,所以r(A)=s,A的列向量组线性无关,(A)不对;
    若r(C)=s,则r(A)=s,所以A的行向量组的秩为s,故n≥s.若n>s,则A的行向量组线性相关,若n=s,则A的行向量组线性无关,(B)不对;
    若r(A)=s,因为r(C)≤s,所以不能断定C的列向量组线性相关还是无关,(C)不对;
    若r(C)=s,则r(A)=s,选(D).
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