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  3. 设矩阵B的列向量线性无关，且BA=C，则( )．

设矩阵B的列向量线性无关，且BA=C，则( )．

admin2017-12-18  29
问题 设矩阵B的列向量线性无关，且BA=C，则(    )．
选项 A、若矩阵C的列向量线性无关，则矩阵A的列向量线性相关
B、若矩阵C的列向量线性无关，则矩阵A的行向量线性相关
C、若矩阵A的列向量线性无关，则矩阵C的列向量线性相关
D、若矩阵C的列向量线性无关，则矩阵A的列向量线性无关
答案D
解析 设B为m×n矩阵，A为n×s矩阵，则C为m×s矩阵，且r(B)=n．
    因为BA=C，所以r(C)≤r(A)，r(C)≤r(B)．
    若r(C)=s，则r(A)≥s，又r(A)≤s，所以r(A)=s，A的列向量组线性无关，(A)不对；
    若r(C)=s，则r(A)=s，所以A的行向量组的秩为s，故n≥s．若n＞s，则A的行向量组线性相关，若n=s，则A的行向量组线性无关，(B)不对；
    若r(A)=s，因为r(C)≤s，所以不能断定C的列向量组线性相关还是无关，(C)不对；
    若r(C)=s，则r(A)=s，选(D)．
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考研数学二

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