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设函数f(x)在区间(-R,R)内可展开成x的幂级数,证明:当f(x)是奇函数时,幂级数中不含x的偶次幂项;当f(x)是偶函数时,幂级数中不含x的奇次幂项.
设函数f(x)在区间(-R,R)内可展开成x的幂级数,证明:当f(x)是奇函数时,幂级数中不含x的偶次幂项;当f(x)是偶函数时,幂级数中不含x的奇次幂项.
admin
2014-04-10
76
问题
设函数f(x)在区间(-R,R)内可展开成x的幂级数,证明:当f(x)是奇函数时,幂级数中不含x的偶次幂项;当f(x)是偶函数时,幂级数中不含x的奇次幂项.
选项
答案
f(x)可在(-R,R)内展成x的幂级数,因此有 [*] (1)当f(x)为奇函数时,由于奇函数的导函数为偶函数,偶函数的导函数为奇函数,则有f(x)的奇数阶导为偶函数,偶数阶导为奇函数 当n=2k时,f
(n)
(x)为奇函数, 即f
(n)
(0)=0,展开式中不含x的偶次项; (2)当f(x)为偶函数时,同理有f(x)的奇数阶导为奇函数,偶数阶导为偶函数 当n=2k-1时,f
(n)
(x)为奇函数, 即f
(n)
(0)=0,展开式中不含x的奇次项.
解析
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考研数学三
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