设f(x)在点x=a处四阶可导，且f’(a)=f’’(a)=f’’’(a)=0，但f(4)(a)≠0．求证：当f(4)(a)＞0时f(a)是f(x)的极小值；当f(4)(a)＜0时f(a)是f(x)的极大值．

admin2017-05-10 43

问题设f(x)在点x=a处四阶可导，且f’(a)=f’’(a)=f’’’(a)=0，但f⁽⁴⁾(a)≠0．求证：当f⁽⁴⁾(a)＞0时f(a)是f(x)的极小值；当f⁽⁴⁾(a)＜0时f(a)是f(x)的极大值．

选项

答案由题设可得f(x)在x=a处带皮亚诺余项的4阶泰勒公式为 [*] 由极限的保号性质可得，存在δ＞0使得当0＜｜x—a｜＜δ时[*] 同号，即f(x)一f(a)与f⁽⁴⁾(a)同号．故当f⁽⁴⁾(a)＞0时就有f(x)一f(a)＞0在0＜｜x一a｜＜δ中成立，即f(a)是f(x)的一个极小值；当f⁽⁴⁾(a)<0时就有f(x)一f(a)＜0在0＜｜x一a｜＜δ中成立，即f(a)是f(x)的一个极大值．

解析

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考研数学三

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