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设f(x)在点x=a处四阶可导,且f’(a)=f’’(a)=f’’’(a)=0,但f(4)(a)≠0.求证:当f(4)(a)>0时f(a)是f(x)的极小值;当f(4)(a)<0时f(a)是f(x)的极大值.
设f(x)在点x=a处四阶可导,且f’(a)=f’’(a)=f’’’(a)=0,但f(4)(a)≠0.求证:当f(4)(a)>0时f(a)是f(x)的极小值;当f(4)(a)<0时f(a)是f(x)的极大值.
admin
2017-05-10
42
问题
设f(x)在点x=a处四阶可导,且f’(a)=f’’(a)=f’’’(a)=0,但f
(4)
(a)≠0.求证:当f
(4)
(a)>0时f(a)是f(x)的极小值;当f
(4)
(a)<0时f(a)是f(x)的极大值.
选项
答案
由题设可得f(x)在x=a处带皮亚诺余项的4阶泰勒公式为 [*] 由极限的保号性质可得,存在δ>0使得当0<|x—a|<δ时[*] 同号,即f(x)一f(a)与f
(4)
(a)同号.故当f
(4)
(a)>0时就有f(x)一f(a)>0在0<|x一a|<δ中成立,即f(a)是f(x)的一个极小值;当f
(4)
(a)<0时就有f(x)一f(a)<0在0<|x一a|<δ中成立,即f(a)是f(x)的一个极大值.
解析
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考研数学三
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