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设f(x1,x2,x3)=(x1+x3)2+2(x2+ax3)2+(2x1+x2+x3)2. (Ⅰ)就a的不同取值,讨论f(x1,x2,x3)=0的解; (Ⅱ)求二次型f(x1,x2,x3)的规范形.
设f(x1,x2,x3)=(x1+x3)2+2(x2+ax3)2+(2x1+x2+x3)2. (Ⅰ)就a的不同取值,讨论f(x1,x2,x3)=0的解; (Ⅱ)求二次型f(x1,x2,x3)的规范形.
admin
2021-03-18
20
问题
设f(x
1
,x
2
,x
3
)=(x
1
+x
3
)
2
+2(x
2
+ax
3
)
2
+(2x
1
+x
2
+x
3
)
2
.
(Ⅰ)就a的不同取值,讨论f(x
1
,x
2
,x
3
)=0的解;
(Ⅱ)求二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)的规范形.
选项
答案
(Ⅰ)f(x
1
,x
2
,x
3
)=(x
1
+x
3
)
2
+2(x
2
+ax
3
)
2
+(2x
1
+x
2
+x
3
)
2
=0等价于[*] 令A=[*] 当a≠-1时,f(x
1
,x
2
,x
3
)=0只有零解,即X=[*]; 当a=-1时,由[*]得 f(x
1
,x
2
,x
3
)=0的通解为X=k[*](k为任意常数). (Ⅱ)当a≠-1时,二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)的规范形为y
1
2
+y
2
2
+y
3
2
; 当a=-1时, f(x
1
,x
2
,x
3
)=(x
1
+x
3
)
2
+2(x
2
-x
3
)
2
+(2x
1
+x
2
+x
3
)
2
。 =5x
1
2
+3x
2
2
+4x
3
2
+4x
1
x
2
-2x
2
x
3
+6x
1
x
3
=X
T
BX, 其中B=[*] 由|λE-B|=[*]=λ(λ
2
-12λ+33)=0得 λ
1
=6+[*]>0,λ
2
=6-[*]>0,λ
3
=0, 故二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)的规范形为y
1
2
+y
2
2
.
解析
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0
考研数学二
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