设f(x1,x2,x3)=(x1+x3)2+2(x2+ax3)2+(2x1+x2+x3)2. (Ⅰ)就a的不同取值,讨论f(x1,x2,x3)=0的解; (Ⅱ)求二次型f(x1,x2,x3)的规范形.

admin2021-03-18  20

问题 设f(x1,x2,x3)=(x1+x3)2+2(x2+ax3)2+(2x1+x2+x3)2
(Ⅰ)就a的不同取值,讨论f(x1,x2,x3)=0的解;
(Ⅱ)求二次型f(x1,x2,x3)的规范形.

选项

答案(Ⅰ)f(x1,x2,x3)=(x1+x3)2+2(x2+ax3)2+(2x1+x2+x3)2=0等价于[*] 令A=[*] 当a≠-1时,f(x1,x2,x3)=0只有零解,即X=[*]; 当a=-1时,由[*]得 f(x1,x2,x3)=0的通解为X=k[*](k为任意常数). (Ⅱ)当a≠-1时,二次型f(x1,x2,x3)的规范形为y12+y22+y32; 当a=-1时, f(x1,x2,x3)=(x1+x3)2+2(x2-x3)2+(2x1+x2+x3)2。 =5x12+3x22+4x32+4x1x2-2x2x3+6x1x3=XTBX, 其中B=[*] 由|λE-B|=[*]=λ(λ2-12λ+33)=0得 λ1=6+[*]>0,λ2=6-[*]>0,λ3=0, 故二次型f(x1,x2,x3)的规范形为y12+y22

解析
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