2. 考研
  3. 设A为3阶非零矩阵，且满足aij=Aij(i，j=1，2，3)，其中Aij为aij的代数余子式，则下列结论： ①A是可逆矩阵； ②A是对称矩阵； ③A是不可逆矩阵； ④A是正交矩阵． 其中正确的个数为 ( )

设A为3阶非零矩阵，且满足aij=Aij(i，j=1，2，3)，其中Aij为aij的代数余子式，则下列结论： ①A是可逆矩阵； ②A是对称矩阵； ③A是不可逆矩阵； ④A是正交矩阵． 其中正确的个数为 ( )

admin2019-08-12  105
问题 设A为3阶非零矩阵，且满足aij=Aij(i，j=1，2，3)，其中Aij为aij的代数余子式，则下列结论：
    ①A是可逆矩阵；
    ②A是对称矩阵；
    ③A是不可逆矩阵；
    ④A是正交矩阵．
其中正确的个数为    (    )
选项 A、1
B、2
C、3
D、4
答案B
解析 由aij=Aij(i，j=1，2，3)及伴随矩阵的定义可知：A*=AT，那么｜A*｜=｜AT｜，也即｜A｜2=｜A｜，即｜A｜(｜A｜一1)=0．
    又由于A为非零矩阵，不妨设a11≠0，则
    ｜A｜=a11A11+a12A12+a13A13=a112+a122+a132＞0，故｜A｜=1．因此，A可逆．
    并且AAT=AA*=｜A｜E=E，可知A是正交矩阵．可知①，④正确，③错误．
    从题目中的条件无法判断A是否为对称矩阵，故正确的只有两个，选(B)．
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考研数学二

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