求x(x+2y)dσ，其中D是由曲线x2+4y2=2x+8y一1围成的平面区域．

admin2019-01-05 65

问题求

x(x+2y)dσ，其中D是由曲线x²+4y²=2x+8y一1围成的平面区域．

选项

答案由于x²+4y²=2x+8y—1 [*]+(y一1)²=1，故积分区域D是xy平面上以(1，1)为中心，长短半轴分别为2与1的椭圆域．引入坐标系的平移u=x—1，v=y一1，则D在uv平面上对应区域D’={(u，v)｜[*]+v²≤1}，且 [*] 在此利用了u(v+2)是关于u的奇函数，v是奇函数以及u²分别关于u与v是偶函数，而D’分别关于u轴与v轴对称，还利用了区域D’的面积是2π，其中D’₁是D’在uv平面上第一象限的部分区域(如图4．20)．因为 [*]

解析

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考研数学三

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