将10本没有区别的图书：分到编号为1、2、3的图书馆，要求每个图书馆分得的图书不小于其编号数，共有多少种不同的分法?

admin2013-05-19 47

问题将10本没有区别的图书：分到编号为1、2、3的图书馆，要求每个图书馆分得的图书不小于其编号数，共有多少种不同的分法?

选项 A、12
B、15
C、30
D、45

答案B

解析此题答案为B。因为书相同，不用考虑顺序，所以这是一个组合问题。
方法一，分得的书不小于其编号，可以先分1、2、3本书到3个图书馆中，还剩下10—1—2—3=4本书。若4本书分给1、2、3图书馆中的任一个，有C₃¹=3种情况；若4本书分成(1+3)两份，分给1、2、3中的两个图书馆，有C₃²×2=6种情况；若4本书分成(2+2)两份，分给1、2、3中的两个图书馆，有C₃²=3种情况；4本书分成(1+1+2)三份，再从中选出1个分2本书的图书馆，有C₃¹=3种情况，所以一共有3+6+3+3=15种分法。
方法二，将问题转化为“n件相同的物品分成m堆。每堆至少一件”这种标准问题，再用插板法将非常简便。先给编号为2的图书馆1本书、编号为3的图书馆2本书．还剩下10—1—2=7本书，这样问题就变为“7本书分给3个图书馆．每个图书馆至少一本”，采用插板法公式可知，有C₆²=15种分法。

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