已知m个向量α1，…，αm线性相关，但其中任意m—1个向量都线性无关，证明：（Ⅰ）如果等式k1α1+…+kmαm=0成立，则系数k1，…，km或者全为零，或者全不为零；（Ⅱ）如果等式k1α1+…+kmαm=0和等式l1α1+…+lmαm=0都成立，则

admin2017-01-21 46

问题已知m个向量α₁，…，α_m线性相关，但其中任意m—1个向量都线性无关，证明：
（Ⅰ）如果等式k₁α₁+…+k_mα_m=0成立，则系数k₁，…，k_m或者全为零，或者全不为零；
（Ⅱ）如果等式k₁α₁+…+k_mα_m=0和等式l₁α₁+…+l_mα_m=0都成立，则

其中l₁≠0。

选项

答案（Ⅰ）假设存在某个k_i=0，则由k₁α₁+…+k_mα_m=0可得 k₁α₁+…+k_i—1α_i—1+k_i+1α_i+1+…+k_mα_m=0。（1）因为任意m—1个向量都线性无关，所以必有k₁=…=k_i—1=k_i+1=…=k_m=0，即系数k₁，…，k_m全为零。所以系数k₁，…，k_m或者全为零，或者全不为零。（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当l₁≠0时，系数l₁，…，l_m全不为零，所以 [*] 又因为任意m—1个向量都线性无关，所以[*]+k_m=0， [*]

解析

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考研数学三

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已知m个向量α1，…，αm线性相关，但其中任意m—1个向量都线性无关，证明：（Ⅰ）如果等式k1α1+…+kmαm=0成立，则系数k1，…，km或者全为零，或者全不为零；（Ⅱ）如果等式k1α1+…+kmαm=0和等式l1α1+…+lmαm=0都成立，则

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Formostofhumanhistoryrichpeoplehadthemostleisure.Ontheotherhand,thepoorhavetypicallyworkedpersistently.Hans

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