2. 考研
  3. 设常数k＞0，方程在(0，＋∞)内根的个数为[ ]．

设常数k＞0，方程在(0，＋∞)内根的个数为[ ]．

admin2014-09-08  20
问题 设常数k＞0，方程在(0，＋∞)内根的个数为[    ]．
选项 A、0
B、1
C、2
D、3
答案C
解析 设，x∈(0，＋∞)，则
   ．
令f’(x)＝0，得x＝e．当0＜x＜e时，f’(x)＞0，因此f(x)在(0，e]上单调增加；当e＜x＜＋∞时，f’(x)＜0，因此f(x)在(e，＋∞)上单调减少，从而x＝e是f(x)的唯一极大值点，因此它是最大值点，最大值f(e)＝k＞0．
   
由及极限的保号性质，存在x1，0＜x1＜e，使得f(x1)＜0．同理存在x2＞e，使得f(x2)＜0．   
    f(x)在[x1，e]，[e，x2]上利用连续函数的零点存在定理，得出f(x)在(1，e)，(e，x2)内各至少有一个零点的结论．又f(x)在(x1，e)，(e，x2)内是单调的．因而f(x)在(x1，e)，(e，x2)内最多各有一个零点．综合上述，f(x)在(x1，e)和(e，x2)内各有一个零点，即方程f(x)＝0在(x1，e)及(e，x2)内各有一个根．
    故选C．
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