设常数k＞0，方程在(0，＋∞)内根的个数为[ ]．

admin2014-09-08 42

问题设常数k＞0，方程

在(0，＋∞)内根的个数为[ ]．

选项 A、0
B、1
C、2
D、3

答案C

解析设

，x∈(0，＋∞)，则

．
令f’(x)＝0，得x＝e．当0＜x＜e时，f’(x)＞0，因此f(x)在(0，e]上单调增加；当e＜x＜＋∞时，f’(x)＜0，因此f(x)在(e，＋∞)上单调减少，从而x＝e是f(x)的唯一极大值点，因此它是最大值点，最大值f(e)＝k＞0．

由

及极限的保号性质，存在x₁，0＜x₁＜e，使得f(x₁)＜0．同理存在x₂＞e，使得f(x₂)＜0．
f(x)在[x₁，e]，[e，x₂]上利用连续函数的零点存在定理，得出f(x)在(₁，e)，(e，x₂)内各至少有一个零点的结论．又f(x)在(x₁，e)，(e，x₂)内是单调的．因而f(x)在(x₁，e)，(e，x₂)内最多各有一个零点．综合上述，f(x)在(x₁，e)和(e，x₂)内各有一个零点，即方程f(x)＝0在(x₁，e)及(e，x₂)内各有一个根．
故选C．

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