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设f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0。证明: (Ⅰ)存在一点ξ∈(a,b),使得f’(ξ)=2f(ξ); (Ⅱ)存在一点η∈(a,b),使得f’(η)=-3f(η)g’(η)。
设f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0。证明: (Ⅰ)存在一点ξ∈(a,b),使得f’(ξ)=2f(ξ); (Ⅱ)存在一点η∈(a,b),使得f’(η)=-3f(η)g’(η)。
admin
2017-11-30
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问题
设f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0。证明:
(Ⅰ)存在一点ξ∈(a,b),使得f’(ξ)=2f(ξ);
(Ⅱ)存在一点η∈(a,b),使得f’(η)=-3f(η)g’(η)。
选项
答案
(Ⅰ)令φ(x)=e
-2x
f(x),因为f(a)=f(b)=0,所以φ(a)=φ(b)=0,根据罗尔定理,存在一点ξ∈(a,b),使得φ’(ξ)=0,而φ’(x)=e
-2x
[f’(x)-2f(x)]且e
-2x
≠0,所以f’(ξ)=2f(ξ)。 (Ⅱ)令h(x)=f(x)e
3g(x)
,因为f(a)=f(b)=0,所以h(a)=h(b)=0,根据罗尔定理,存在一点η∈(a,b),使得h’(η)=0,而h’(x)=e
3g(x)
[f’(x)+3f(x)g’(x)]且e
3g(x)
≠0,所以f’(η)=-3f(η)g’(η)。
解析
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考研数学三
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