设数列{xn}满足:x1>0,(n=1,2,…).证明{xn}收敛,并求

admin2018-03-26  57

问题 设数列{xn}满足:x1>0,(n=1,2,…).证明{xn}收敛,并求

选项

答案设f(x)=ex一1一x(x>0),则有 f’(x)=ex一1>0,因此f(x)>f(0)=0,[*] 从而[*]可知x2>0. 猜想xn>0,现用数学归纳法证明. 当n=1时,x1>0,成立; 假设当n=k(k=2,3,…)时,有xk>0,则n=k+1时,有 [*] 从而得知无论n取任何自然数,都有xn>0,即数列{xn}有下界. 又xn+1一xn=[*]设g(x)=ex一1一xex. 当x>0时,g’(x)=ex一ex一xex=一xex<0. 因此g(x)单调递减,g(x)<g(0)=0,即有ex-1<xex, 因此xn+1一xn=[*]<ln1=0,可知数列{xn}单调递减. 由单调有界准则可知数列{xn}收敛. 设[*],则有AeA=eA一1(A≥0).可知A=0是该方程的解. 因为当x>0时,g(x)=ex一1一xex<g(0)=0. 因此A=0是方程AeA=eA一1唯一的解.故[*]

解析
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