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设α1,α2,…,αm为一个向量组,且α1≠θ,每一个向量αi(i>1)都不能由α1,α2,…,αi-1线性表示,求证:α1,α2,…,αm线性无关.
设α1,α2,…,αm为一个向量组,且α1≠θ,每一个向量αi(i>1)都不能由α1,α2,…,αi-1线性表示,求证:α1,α2,…,αm线性无关.
admin
2013-01-23
53
问题
设α
1
,α
2
,…,α
m
为一个向量组,且α
1
≠θ,每一个向量α
i
(i>1)都不能由α
1
,α
2
,…,α
i-1
线性表示,求证:α
1
,α
2
,…,α
m
线性无关.
选项
答案
用定义证明.假设存在一组数k
1
,k
2
,…,k
m
使得 k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
m
α
m
=θ, 若k
1
,k
2
,…,k
m
全为零,显然α
1
,α
2
,…,α
m
线性无关;若k
1
,k
2
,…,k
m
不全为零,对k
1
,k
2
,…,k
m
从右向左看,设第一个不为零的数为k
i
,即k
i
≠0,k
i+1
=0,…,k
m
=0,于是有k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
i
α
i
=θ.若i=1,则k
1
α
1
=θ,从而α
1
=θ,与α
1
≠θ矛盾;若i≠1,则α
i
=-(1/k
i
)(k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
i-1
α
i-1
),与每一个向量α
i
(i>1)都不能由α
1
,α
2
,…,α
i-1
线性表示矛盾,因此,k
1
,k
2
,…,k
m
必须全为零,这说明α
1
,α
2
,…,α
m
线性无关.
解析
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考研数学三
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