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设函数f(x)二阶连续可导,f(0)=1且有f’(x)+3∫0xf’(t)dt+2x∫01f(tx)dt+e-x=0,求f(x).
设函数f(x)二阶连续可导,f(0)=1且有f’(x)+3∫0xf’(t)dt+2x∫01f(tx)dt+e-x=0,求f(x).
admin
2015-07-10
62
问题
设函数f(x)二阶连续可导,f(0)=1且有f’(x)+3∫
0
x
f’(t)dt+2x∫
0
1
f(tx)dt+e
-x
=0,求f(x).
选项
答案
因为x∫
0
1
f(tx)dt=∫
0
x
f(u)du,所以f’(x)+3∫
0
x
f’(t)dt+2x∫
0
1
f(tx)dt+e
-x
=0可化为f’(x)+3∫
0
x
f’(t)dt+2∫
0
x
f(t)dt+e
-x
=0, 两边对x求导得f"(x)+3f’(x)+2f(x)=e
-x
, 由λ
2
+3λ+2=0得λ
1
=一1,λ
2
=一2, 则方程f"(x)+3f’(x)+2f(x)=0的通解为C
1
e一+C
2
e
-2x
. 令f"(x)+3f’(x)+2f(x)=e
-x
的一个特解为y
0
=ax e
-x
,代入得a=1, 则原方程的通解为f(x)=C
1
e
-x
+C
2
e
-2x
+xe
-x
. 由f(0)=1,f’(0)=一1得C
1
=0,C
2
=1,故原方程的解为f(x)=e
-2x
+xe
-x
.
解析
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0
考研数学三
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