[2008年] 如图1.3.2.1所示,曲线段的方程为y=f(x),函数f(x)在区间[0,a]上有连续的导数,则定积分∫0axf′(x)dx等于( ).

admin2019-04-05  51

问题 [2008年]  如图1.3.2.1所示,曲线段的方程为y=f(x),函数f(x)在区间[0,a]上有连续的导数,则定积分∫0axf′(x)dx等于(    ).

选项 A、曲边梯形ABOD的面积
B、梯形ABOD的面积
C、曲边三角形ACD的面积  
D、三角形ACD的面积

答案C

解析 由于被积函数含有抽象函数f(x)的导数,自然想到先让它进入微分号做分部积分,再用定积分的几何意义解释其结果即得正确选项.
0axf′(x)dx=∫0axdf(x)=xf(x)∣0a一∫0af(x)dx=af(a)一∫0af(x)dx,
其中af(a)是矩形ABOD的面积,∫0af(x)dx是曲边梯形ABOD的面积(见图1.3.2.1).因此∫0axf′(x)dx是曲边三角形ACD的面积.仅(C)入选.
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