2. 专升本
  3. 若f(x)在[0，1]上有三阶导数，且f(0)=f(1)=0，设F(x)=x3f(x)，试证在(0，1)内至少存在一个ξ，使F’’’(ξ)=0．

若f(x)在[0，1]上有三阶导数，且f(0)=f(1)=0，设F(x)=x3f(x)，试证在(0，1)内至少存在一个ξ，使F’’’(ξ)=0．

admin2018-10-17  29
问题 若f(x)在[0，1]上有三阶导数，且f(0)=f(1)=0，设F(x)=x3f(x)，试证在(0，1)内至少存在一个ξ，使F’’’(ξ)=0．
选项
答案由题设可知F(x)，F’(x)，F’’(x)，F’’’(x)在[0，1]上存在，又F(0)=0，F(1)=f(1)=0，由罗尔定理，存在ξ1∈(0，1)使F’(ξ1)=0． 又F’(0)=[3x2f(x)+x3f’(x)]｜x=0=0， F’(x)在[0，ξ1]上应用罗尔定理，存在ξ2∈(0，ξ1)[*](0，1)使F’’(ξ2)=0， 又F’’(0)=[6xf(x)+6x2f’(x)+x3f’’(x)]｜x=0=0， 对F’’(x)在[0，ξ2]上再次用罗尔定理，存在ξ∈(0，ξ2)[*](0，1)使F’’’(ξ)=0．
解析
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