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若f(x)在[0,1]上有三阶导数,且f(0)=f(1)=0,设F(x)=x3f(x),试证在(0,1)内至少存在一个ξ,使F’’’(ξ)=0.
若f(x)在[0,1]上有三阶导数,且f(0)=f(1)=0,设F(x)=x3f(x),试证在(0,1)内至少存在一个ξ,使F’’’(ξ)=0.
admin
2018-10-17
31
问题
若f(x)在[0,1]上有三阶导数,且f(0)=f(1)=0,设F(x)=x
3
f(x),试证在(0,1)内至少存在一个ξ,使F
’’’
(ξ)=0.
选项
答案
由题设可知F(x),F
’
(x),F
’’
(x),F
’’’
(x)在[0,1]上存在,又F(0)=0,F(1)=f(1)=0,由罗尔定理,存在ξ
1
∈(0,1)使F
’
(ξ
1
)=0. 又F
’
(0)=[3x
2
f(x)+x
3
f
’
(x)]|
x=0
=0, F
’
(x)在[0,ξ
1
]上应用罗尔定理,存在ξ
2
∈(0,ξ
1
)[*](0,1)使F
’’
(ξ
2
)=0, 又F
’’
(0)=[6xf(x)+6x
2
f
’
(x)+x
3
f
’’
(x)]|
x=0
=0, 对F
’’
(x)在[0,ξ
2
]上再次用罗尔定理,存在ξ∈(0,ξ
2
)[*](0,1)使F
’’’
(ξ)=0.
解析
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本试题收录于:
高等数学二题库成考专升本分类
0
高等数学二
成考专升本
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