设f(x)在(a,b)内二阶可导,且a<x1<x2<b. (I)若x∈(a,b)时f’’(x)>0,则 对任何x∈(x1,x2)成立; (Ⅱ)若x∈(a,b)时f’’(x)<0,则 对任何x∈(x2,x2)成立.

admin2016-10-20  34

问题 设f(x)在(a,b)内二阶可导,且a<x1<x2<b.
(I)若x∈(a,b)时f’’(x)>0,则

对任何x∈(x1,x2)成立;
(Ⅱ)若x∈(a,b)时f’’(x)<0,则

对任何x∈(x2,x2)成立.

选项

答案①因(Ⅰ)与(Ⅱ)的证法类似,下面只证(Ⅰ).把(2.17)式改写成下面的等价不等式,有 (x2-x)[f(x)-f(x1)]<(x-x1)[f(x2)-f(x)], 由拉格朗日中值定理知 (x2-x)[f(x)-f(x1)]=(x2-x)(x-x1)f’(ξ1),x1<ξ1<ξ1,(x-x1)[f(x2)-f(x)]=(x-x1)(x2-x)f’(ξ2),x<ξ2<x2. 由f’’(x)>0知f’(x)单调增加,故f’(ξ1)<f’(ξ2),由此即知等价不等式成立,从而(Ⅰ)成立. ②引进辅助函数 [*] 故F(x)的图形在[x1,x2][*](a,b)上为凹的.由F(x1)=F(x2)=0可知F(x)<0,从而不等式成立.

解析
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