2. 考研
  3. 设f(x)在(a，b)内二阶可导，且a＜x1＜x2＜b． (I)若x∈(a，b)时f’’(x)＞0，则 对任何x∈(x1，x2)成立； (Ⅱ)若x∈(a，b)时f’’(x)＜0，则 对任何x∈(x2，x2)成立．

设f(x)在(a，b)内二阶可导，且a＜x1＜x2＜b． (I)若x∈(a，b)时f’’(x)＞0，则 对任何x∈(x1，x2)成立； (Ⅱ)若x∈(a，b)时f’’(x)＜0，则 对任何x∈(x2，x2)成立．

admin2016-10-20  44
问题 设f(x)在(a，b)内二阶可导，且a＜x1＜x2＜b．
(I)若x∈(a，b)时f’’(x)＞0，则

对任何x∈(x1，x2)成立；
(Ⅱ)若x∈(a，b)时f’’(x)＜0，则

对任何x∈(x2，x2)成立．
选项
答案①因(Ⅰ)与(Ⅱ)的证法类似，下面只证(Ⅰ)．把(2．17)式改写成下面的等价不等式，有 (x2-x)[f(x)-f(x1)]＜(x-x1)[f(x2)-f(x)]， 由拉格朗日中值定理知 (x2-x)[f(x)-f(x1)]=(x2-x)(x-x1)f’(ξ1)，x1＜ξ1＜ξ1，(x-x1)[f(x2)-f(x)]=(x-x1)(x2-x)f’(ξ2)，x＜ξ2＜x2． 由f’’(x)＞0知f’(x)单调增加，故f’(ξ1)＜f’(ξ2)，由此即知等价不等式成立，从而(Ⅰ)成立． ②引进辅助函数 [*] 故F(x)的图形在[x1，x2][*](a，b)上为凹的．由F(x1)=F(x2)=0可知F(x)＜0，从而不等式成立．
解析
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考研数学三

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