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设f(x)在(a，b)内二阶可导，且a＜x1＜x2＜b． (I)若x∈(a，b)时f’’(x)＞0，则 对任何x∈(x1，x2)成立； (Ⅱ)若x∈(a，b)时f’’(x)＜0，则 对任何x∈(x2，x2)成立．
设f(x)在(a，b)内二阶可导，且a＜x1＜x2＜b． (I)若x∈(a，b)时f’’(x)＞0，则 对任何x∈(x1，x2)成立； (Ⅱ)若x∈(a，b)时f’’(x)＜0，则 对任何x∈(x2，x2)成立．
admin
2016-10-20
47
问题
设f(x)在(a，b)内二阶可导，且a＜x
1
＜x
2
＜b．
(I)若x∈(a，b)时f’’(x)＞0，则
对任何x∈(x
1
，x
2
)成立；
(Ⅱ)若x∈(a，b)时f’’(x)＜0，则
对任何x∈(x
2
，x
2
)成立．
选项
答案
①因(Ⅰ)与(Ⅱ)的证法类似，下面只证(Ⅰ)．把(2．17)式改写成下面的等价不等式，有 (x
2
-x)[f(x)-f(x
1
)]＜(x-x
1
)[f(x
2
)-f(x)]， 由拉格朗日中值定理知 (x
2
-x)[f(x)-f(x
1
)]=(x
2
-x)(x-x
1
)f’(ξ
1
)，x
1
＜ξ
1
＜ξ
1
，(x-x
1
)[f(x
2
)-f(x)]=(x-x
1
)(x
2
-x)f’(ξ
2
)，x＜ξ
2
＜x
2
． 由f’’(x)＞0知f’(x)单调增加，故f’(ξ
1
)＜f’(ξ
2
)，由此即知等价不等式成立，从而(Ⅰ)成立． ②引进辅助函数 [*] 故F(x)的图形在[x
1
，x
2
][*](a，b)上为凹的．由F(x
1
)=F(x
2
)=0可知F(x)＜0，从而不等式成立．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/maT4777K
0
考研数学三
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