设f(x)在[a，b]上二阶连续可导，f(a)＝f(b)＝0，f’b(a)＞0，证明：在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f"(ξ)＜0．

admin2021-04-07 40

问题设f(x)在[a，b]上二阶连续可导，f(a)＝f(b)＝0，f’_b(a)＞0，证明：在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f"(ξ)＜0．

选项

答案由f’_＋(a)＞0知 [*] 故在(a，b)内至少存在一点x₀，使得f(x₀)＞0，在[a，x₀]，[x₀，b]上分别应用拉格朗日中值定理，知存在ξ₁∈(a，x₀)，ξ₂∈(x₀，b)，使得 [*] 即 [*] 又在[ξ₁，ξ₂]上，f’(x)满足拉格朗日中值定理条件，故至少存在一点ξ∈(ξ₁，ξ₂)，使得 [*] 且有f"(ξ)＜0。

解析

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