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设f(x)在[a,b]上二阶连续可导,f(a)=f(b)=0,f’b(a)>0,证明:在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f"(ξ)<0.
设f(x)在[a,b]上二阶连续可导,f(a)=f(b)=0,f’b(a)>0,证明:在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f"(ξ)<0.
admin
2021-04-07
47
问题
设f(x)在[a,b]上二阶连续可导,f(a)=f(b)=0,f’
b
(a)>0,证明:在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f"(ξ)<0.
选项
答案
由f’
+
(a)>0知 [*] 故在(a,b)内至少存在一点x
0
,使得f(x
0
)>0,在[a,x
0
],[x
0
,b]上分别应用拉格朗日中值定理,知存在ξ
1
∈(a,x
0
),ξ
2
∈(x
0
,b),使得 [*] 即 [*] 又在[ξ
1
,ξ
2
]上,f’(x)满足拉格朗日中值定理条件,故至少存在一点ξ∈(ξ
1
,ξ
2
),使得 [*] 且有f"(ξ)<0。
解析
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考研数学二
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