2. 考研
  3. 已知A，B均是2×4矩阵，其中 AX=0有基础解系α1=(1，1，2，1)T，α2=(0，一3，1，0)T； BX=0有基础解系β1=(1，3，0，2)T，β2=(1，2，一1，a)T． (Ⅰ)求矩阵A； (Ⅱ)若AX=0和

已知A，B均是2×4矩阵，其中 AX=0有基础解系α1=(1，1，2，1)T，α2=(0，一3，1，0)T； BX=0有基础解系β1=(1，3，0，2)T，β2=(1，2，一1，a)T． (Ⅰ)求矩阵A； (Ⅱ)若AX=0和

admin2016-05-03  49
问题 已知A，B均是2×4矩阵，其中
    AX=0有基础解系α1=(1，1，2，1)T，α2=(0，一3，1，0)T；
    BX=0有基础解系β1=(1，3，0，2)T，β2=(1，2，一1，a)T．
    (Ⅰ)求矩阵A；
    (Ⅱ)若AX=0和BX=0有非零公共解，求参数a的值及公共解．
选项
答案(Ⅰ)记C=(α1，α2)，则有AC=A(α1，α2)=0，得CTAT=0，即AT的列向量(即A的行向量)是CTX=0的解向量． CT=[*]， 解得CTX=0的基础解系为ξ1=(1，0，0，一1)T，ξ2=(一7，1，3，0)T． 故 A=[*]． (Ⅱ)若AX=0和BX=0有非零公共解，则非零公共解既可由α1，α2线性表出，也可由β1，β2线性表出，设公共解为 η=x1α1+x2α2=x3β1+x4β2． 于是 x1α1+x2α2-x3β1-x4β4=0． (*) 对(α1，α2，一β1，-β2)作初等行变换， [*] 当a=3时，方程组(*)有非零解，k(一1，1，一2，1)T．此时AX=0和BX=0的非零公共解，为 η=L1(一α1+α2)=L1(一1，一4，一1，一1)T=L1(1，4，1，1)T， 其中L1是任意常数， 或 η=L2(一2β1+β2)=L2(1，4，1，1)T， 其中L2是任意常数．
解析
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考研数学三

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