设函数f在(0，+∞)上满足方程f(2x)=f(x)，且f(x)=A．证明：f(x)≡A，x∈(0，+∞)．

admin2022-10-31 36

问题设函数f在(0，+∞)上满足方程f(2x)=f(x)，且

f(x)=A．证明：f(x)≡A，x∈(0，+∞)．

选项

答案由[*]使得当x＞M时．有A-ε＜f(x)＜A+ε．设ξ是区间(0，+∞)中的任一数，由于[*]2ⁿξ=+∞，所以[*]N∈N₊，使得2^Nξ＞M．由f(2x)=f(x)得，f(ξ)=f(2ξ)=…=f(2^Nξ)．因为2^Nξ＞M，所以A-ε＜f(ξ)＜A+ε．由ε的任意性知，对所有的x＞0，有A-ε＜f(x)＜A+ε．再由ε的任意性知，f(x)≡A．

解析

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