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设函数f在(0,+∞)上满足方程f(2x)=f(x),且f(x)=A.证明:f(x)≡A,x∈(0,+∞).
设函数f在(0,+∞)上满足方程f(2x)=f(x),且f(x)=A.证明:f(x)≡A,x∈(0,+∞).
admin
2022-10-31
39
问题
设函数f在(0,+∞)上满足方程f(2x)=f(x),且
f(x)=A.证明:f(x)≡A,x∈(0,+∞).
选项
答案
由[*]使得当x>M时.有A-ε<f(x)<A+ε. 设ξ是区间(0,+∞)中的任一数,由于[*]2
n
ξ=+∞,所以[*]N∈N
+
,使得2
N
ξ>M.由f(2x)=f(x)得,f(ξ)=f(2ξ)=…=f(2
N
ξ).因为2
N
ξ>M,所以A-ε<f(ξ)<A+ε.由ε的任意性知,对所有的x>0,有A-ε<f(x)<A+ε.再由ε的任意性知,f(x)≡A.
解析
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考研数学一
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