已知抛物线y2=4x的焦点为F． (1)求证：存在正数a，使得过点P(a，0)且与已知抛物线有两个交点A、B的任一直线，均满足＜0． (2)求a的取值范围．

admin2017-02-14 42

问题已知抛物线y²=4x的焦点为F．
(1)求证：存在正数a，使得过点P(a，0)且与已知抛物线有两个交点A、B的任一直线，均满足

＜0．
(2)求a的取值范围．

选项

答案(1)由已知得，F的坐标为(1，0)．设过点P(a，0)的直线l与抛物线的交点A、B的坐标分别为(x₁，y₁)、(x₂，y₂)，另设直线l的方程为x=my+a(a＞0)，则由[*]得，y²一4my一4a=0，因为直线l与已知抛物线有两个交点， [*] 又因为4m²≥0，故a²一6a+1＜4m²若想对于一切m均成立，则a²一6a+1＜0，由于△=(一6)²一4=32＞0，故存在正数a，使得过点P(a，0)且与已知抛物线有两个交点A、B的任一直线，均满足[*]＜0． (2)由(1)可知，当满足条件时，a²一6a+1＜0，故可得a的取值范围为(3—[*])．

解析

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已知抛物线y2=4x的焦点为F． (1)求证：存在正数a，使得过点P(a，0)且与已知抛物线有两个交点A、B的任一直线，均满足＜0． (2)求a的取值范围．

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