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设n维向量α1,α2,…,αs的秩为r,则下列命题正确的是
设n维向量α1,α2,…,αs的秩为r,则下列命题正确的是
admin
2015-04-30
36
问题
设n维向量α
1
,α
2
,…,α
s
的秩为r,则下列命题正确的是
选项
A、α
1
,α
2
,…,α
s
中任何r一1个向量必线性无关.
B、α
1
,α
2
,…,α
s
中任何r个向量必线性无关.
C、如果s>n,则α
s
必可由α
1
,α
2
,…,α
s—1
线性表示.
D、如果r=n,则任何n维向量必可由α
1
,α
2
,…,α
s
线性表示.
答案
D
解析
r(α
1
,α
2
,…,α
s
)=r
α
1
,α
2
,…,α
s
中一定存在r个向量线性无关,而任意r+1个向量必线性相关.
当向量组的秩为r时,向量组中既可以有r一1个向量线性相关,也可以有r个向量线性相关,故(A)、(B)均错误.例如向量α
1
,α
2
,α
3
,α
4
分别为
(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(3,0,0,0),
其秩为3,其中α
1
,α
4
线性相关,α
1
,α
2
,α
4
也线性相关.该例说明,4维向量可以有2个向量线性相关,也可以有3个向量线性相关.但肯定有3个向量线性无关.
当s>n时,表明α
1
,α
2
,…,α
s
必线性相关,此时有α
i
可以由α
1
,α
i—1
,…,α
i+1
线性表示,但α
s
不一定能由α
1
,…,α
s—1
线性表示.故(C)不正确.
若r(α
1
,α
2
,…,α
s
)=n,则对任何凡维向量β必有r(α
1
,α
2
,…,α
s
,β)=n.故(D)正确.因此应选D.
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考研数学二
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