已知非齐次线性方程组 x1+x2+x3+x4=-1； 4x1+3x2+5x3-x4=-1； ax1+x2+3x3+bx4=-1；有3个线性无关的解. 证明方程组系数矩阵A的秩r(A)=2；

admin2014-04-10 67

问题已知非齐次线性方程组
x₁+x₂+x₃+x₄=-1；
4x₁+3x₂+5x₃-x₄=-1；
ax₁+x₂+3x₃+bx₄=-1；
有3个线性无关的解.
证明方程组系数矩阵A的秩r(A)=2；

选项

答案设α₁，α₂，α₃.是非齐次方程组的3个线性无关的解，那么α₁-α₂，α₁-α₃是Ax=0线性无关的解，所以n-r(A)≥2，即r(A)≤2．显然矩阵A有2阶子式不为0，又有r(A)≥2，从而r(A)=2．

解析

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考研数学三

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