设A、B为同阶实对称矩阵，A的特征值全大于a，B的特征值全大于b，a、b为常数，证明：矩阵A＋B的特征值全大于a＋b．

admin2018-11-11 36

问题设A、B为同阶实对称矩阵，A的特征值全大于a，B的特征值全大于b，a、b为常数，证明：矩阵A＋B的特征值全大于a＋b．

选项

答案设λ为A＋B的任一特征值，则有X≠0，使(A＋B)X＝λX[*](A＋B)X－(a＋b)X＝λX－(a＋b)X[*][(A－aE)＋(B－bE)]X＝[λ－(a＋b)]X，故λ－(a＋b)为(A－aE)＋(B－bE)的特征值，由条件易知A－aE及B－bE均正定，故(A－aE)＋(B－bE)正定，因而它的特征值λ－(a＋b)＞0，[*]λ＞a＋b，即A＋B的任一特征值λ都大于a＋b．

解析

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