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设A是n阶反对称矩阵, (I)证明:A可逆的必要条件是n为偶数;当n为奇数时,A*是对称矩阵; (Ⅱ)举一个4阶不可逆的反对称矩阵的例子; (Ⅲ)证明:如果λ是A的特征值,那么一λ也必是A的特征值.
设A是n阶反对称矩阵, (I)证明:A可逆的必要条件是n为偶数;当n为奇数时,A*是对称矩阵; (Ⅱ)举一个4阶不可逆的反对称矩阵的例子; (Ⅲ)证明:如果λ是A的特征值,那么一λ也必是A的特征值.
admin
2019-07-10
58
问题
设A是n阶反对称矩阵,
(I)证明:A可逆的必要条件是n为偶数;当n为奇数时,A
*
是对称矩阵;
(Ⅱ)举一个4阶不可逆的反对称矩阵的例子;
(Ⅲ)证明:如果λ是A的特征值,那么一λ也必是A的特征值.
选项
答案
(I)按反对称矩阵定义:A
T
=一A,那么 |A|=|A
T
|=|—A|=(一1)
n
|A|,即[1一(一1)
n
]|A|=0. 若n=2k+l,必有|A|=0.所以A可逆的必要条件是n为偶数. 因A
T
=一A,由(A
*
)
T
=(A
T
)
*
有 (A
*
)
T
=(A
T
)
*
=(一A)
*
. 又因(kA)
*
=k
n-1
A
*
,故当n=2k+1时,有 (A
*
)
T
=(一1)
2k
A
*
=A
*
, 即A
*
是对称矩阵. (Ⅱ)例如,[*]是4阶反对称矩阵,且不可逆. (Ⅲ)若λ是A的特征值,有|λE—A|=0,那么 |-λE-A|=|(一λE-A)
T
|=|-λE—A
T
|=|-λE+A|=|一(λE-A)|=(一1)
n
|λE-A|=0, 所以一λ是A的特征值.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/nJJ4777K
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考研数学三
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