2. 考研
  3. 设A是n阶反对称矩阵， (I)证明：A可逆的必要条件是n为偶数；当n为奇数时，A*是对称矩阵； (Ⅱ)举一个4阶不可逆的反对称矩阵的例子； (Ⅲ)证明：如果λ是A的特征值，那么一λ也必是A的特征值．

设A是n阶反对称矩阵， (I)证明：A可逆的必要条件是n为偶数；当n为奇数时，A*是对称矩阵； (Ⅱ)举一个4阶不可逆的反对称矩阵的例子； (Ⅲ)证明：如果λ是A的特征值，那么一λ也必是A的特征值．

admin2019-07-10  61
问题 设A是n阶反对称矩阵，
(I)证明：A可逆的必要条件是n为偶数；当n为奇数时，A*是对称矩阵；
(Ⅱ)举一个4阶不可逆的反对称矩阵的例子；
(Ⅲ)证明：如果λ是A的特征值，那么一λ也必是A的特征值．
选项
答案(I)按反对称矩阵定义：AT=一A，那么 ｜A｜=｜AT｜=｜—A｜=(一1)n｜A｜，即[1一(一1)n]｜A｜=0． 若n=2k+l，必有｜A｜=0．所以A可逆的必要条件是n为偶数． 因AT=一A，由(A*)T=(AT)*有 (A*)T=(AT)*=(一A)*． 又因(kA)*=kn-1A*，故当n=2k+1时，有 (A*)T=(一1)2kA*=A*， 即A*是对称矩阵． (Ⅱ)例如，[*]是4阶反对称矩阵，且不可逆． (Ⅲ)若λ是A的特征值，有｜λE—A｜=0，那么 ｜-λE-A｜=｜(一λE-A)T｜=｜-λE—AT｜=｜-λE+A｜=｜一(λE-A)｜=(一1)n｜λE-A｜=0， 所以一λ是A的特征值．
解析
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考研数学三

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