如图，在△ABC中，∠C=120°，AC=BC，AB=4，半圆的圆心O在AB上，且与AC，BC分别相切于点D，E。 (1)求半圆O的半径； (2)求图中阴影部分的面积。

admin2017-03-29 66

问题如图，在△ABC中，∠C=120°，AC=BC，AB=4，半圆的圆心O在AB上，且与AC，BC分别相切于点D，E。

(1)求半圆O的半径；
(2)求图中阴影部分的面积。

选项

答案(1)连接OD，OE，OC， ∵半圆与AC，BC分别相切于点D，E。 ∴OD⊥AC，且∠DCO=∠ECO。 ∵AC=BC， ∴CO⊥AB且O是AB的中点。 ∴AO=[*]AB=2。 ∵∠C=120°，∠DCO=60° ∴∠A=30°。 ∴．在Rt△AOD中，OD=[*]AO=1。即半圆的半径为1。 [*] (2)设CO=x，则在Rt△AOC中，因为∠A=30°，所以AC=2x，由勾股定理得： AC²－OC²=AO² 即(2x)²－x²=2² [*] ∵半圆的半径为1． ∴半圆的面积为[*]， [*]

解析

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如图，在△ABC中，∠C=120°，AC=BC，AB=4，半圆的圆心O在AB上，且与AC，BC分别相切于点D，E。 (1)求半圆O的半径； (2)求图中阴影部分的面积。

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