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设实二次型f(x1,x2,x3)=xTAx经正交变换化成的标准形为f=2y12-y22一y32,A*是A的伴随矩阵,且向量α=[1,1,一1]T满足A*α=α,则二次型f(x1,x2,x3)=______.
设实二次型f(x1,x2,x3)=xTAx经正交变换化成的标准形为f=2y12-y22一y32,A*是A的伴随矩阵,且向量α=[1,1,一1]T满足A*α=α,则二次型f(x1,x2,x3)=______.
admin
2018-09-20
42
问题
设实二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
T
Ax经正交变换化成的标准形为f=2y
1
2
-y
2
2
一y
3
2
,A*是A的伴随矩阵,且向量α=[1,1,一1]
T
满足A*α=α,则二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=______.
选项
答案
2x
1
x
2
-2x
1
x
3
-2x
2
x
3
解析
由于A的特征值为2,一1,一1,所以|A|=2×(-1)×(-1)=2.
对A*α=α两端左边乘A,并利用AA*=|A|E得Aα=2α,则α是A的对应于特征值2的特征向量.
取α
2
=[0,1,1]
T
,α
3
=[-2,1,-1]
T
,则α,α
2
,α
3
两两正交,将它们分别单位化有
令Q=[q
1
,q
2
,q
3
],即Q为正交矩阵,且
所以二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=2x
1
x
2
-2x
1
x
2
-2x
2
x
3
.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/njW4777K
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考研数学三
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