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设a为常数,讨论两曲线y=ex与的公共点的个数及相应的a的取值范围.
设a为常数,讨论两曲线y=ex与的公共点的个数及相应的a的取值范围.
admin
2018-07-23
76
问题
设a为常数,讨论两曲线y=e
x
与
的公共点的个数及相应的a的取值范围.
选项
答案
若a=0,则易知y=e
x
与y=0无公共点,以下设a≠0.讨论y=e
x
与[*]交点的个数,等同于讨论方程[*]的根的个数,亦即等同于讨论函数 f(x)=xe
x
-a 的零点个数. [*] 得唯一驻点x
0
=-1.当x<-1时,fˊ(x)<0;当x>-1时,fˊ(x)>0.所以 min{f(x)}=f(-1)=-e
-1
-a. 又 [*] ①设-e
-1
-a >0,即设a<-e
-1
,则min{ f (x)}>0,f (x)无零点; ②设-e
-1
-a=0,即设a=-e
-1
,则f(x)有唯一零点x
0
=-1; ③设-e
-1
-a <0,即设a>-e
-1
.又分两种情形: (i)设-e
-1
<a<0.则有f(-∞)=-a >0.f(-1)=-e
-1
-a <0.而在区间(-∞,-1)内f(x)单调递减,在区间(-1,+∞)内f(x)单调递增.故f(x)有且仅有两个零; (ii)设a>0.易知f(x)=xe
x
在区间(-∞,0]内无零点,而在区间(0,+∞)内,f(0)=-a <0,f(+∞)=+∞,fˊ(x)=(x+1)e
x
>0,所以f(x)在区间(0,+∞)内刚好有1个零点.讨论完毕. 综上,结论是: 当a<-e
-1
或a=0时,无交点;当a=-e
-1
时,有唯一交点(切点);当-e
-1
<a<0时.有两个交点;当a>0时,在区间(-∞,0]内无交点.而在区间(0,+∞)内,即第一象限内有唯一交点.
解析
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考研数学二
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