设a为常数,讨论两曲线y=ex与的公共点的个数及相应的a的取值范围.

admin2018-07-23  76

问题 设a为常数,讨论两曲线y=ex的公共点的个数及相应的a的取值范围.

选项

答案若a=0,则易知y=ex与y=0无公共点,以下设a≠0.讨论y=ex与[*]交点的个数,等同于讨论方程[*]的根的个数,亦即等同于讨论函数 f(x)=xex-a 的零点个数. [*] 得唯一驻点x0=-1.当x<-1时,fˊ(x)<0;当x>-1时,fˊ(x)>0.所以 min{f(x)}=f(-1)=-e-1-a. 又 [*] ①设-e-1-a >0,即设a<-e-1,则min{ f (x)}>0,f (x)无零点; ②设-e-1-a=0,即设a=-e-1,则f(x)有唯一零点x0=-1; ③设-e-1-a <0,即设a>-e-1.又分两种情形: (i)设-e-1<a<0.则有f(-∞)=-a >0.f(-1)=-e-1-a <0.而在区间(-∞,-1)内f(x)单调递减,在区间(-1,+∞)内f(x)单调递增.故f(x)有且仅有两个零; (ii)设a>0.易知f(x)=xex在区间(-∞,0]内无零点,而在区间(0,+∞)内,f(0)=-a <0,f(+∞)=+∞,fˊ(x)=(x+1)ex>0,所以f(x)在区间(0,+∞)内刚好有1个零点.讨论完毕. 综上,结论是: 当a<-e-1或a=0时,无交点;当a=-e-1时,有唯一交点(切点);当-e-1<a<0时.有两个交点;当a>0时,在区间(-∞,0]内无交点.而在区间(0,+∞)内,即第一象限内有唯一交点.

解析
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