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证明:区间(a,b)内单调函数f(x)若有间断点,则它必为第一类间断点.
证明:区间(a,b)内单调函数f(x)若有间断点,则它必为第一类间断点.
admin
2015-08-14
89
问题
证明:区间(a,b)内单调函数f(x)若有间断点,则它必为第一类间断点.
选项
答案
不妨设f(x)在(a,b)内有定义,是单调递增的,x
0
∈(a,b)是f(x)的间断点.再设x∈(a,x
0
),则x<x
0
,由单调递增性知:f(x)>f(x
0
)(为常数)即f(x)在(a,x
0
)上单调递增有上界,它必定存在左极限:f(x
0
-
)=[*]≤f(x
0
),式中“≤”处若取“一”号,则f(x)在x
0
左连续,反之f(x)在点x
0
为跳跃间断点,同理可证,当x>x
0
时,单调增函数f(x)存在右极限f(x
0
+
)≥f(x
0
),f(x)或在x
0
右连续、或点x
0
为跳跃间断点.综合之,单调增函数f(x)在间断点x
0
处的左、右极限都存在,故若x
0
是f(x)的间断点,则x
0
一定是f(x)的第一类间断点.同理可证f(x)在(a,b)内单调递减的情形.
解析
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0
考研数学二
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