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设向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αm，组(Ⅱ)：β1，β2，…，βn，其秩分别为γ1，γ2，向量组(Ⅲ)：α1，α2，…，αm，β1，β2，…，βn的秩为γ3，证明max｛γ1，γ2｝≤γ3≤γ1＋γ2．
设向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αm，组(Ⅱ)：β1，β2，…，βn，其秩分别为γ1，γ2，向量组(Ⅲ)：α1，α2，…，αm，β1，β2，…，βn的秩为γ3，证明max｛γ1，γ2｝≤γ3≤γ1＋γ2．
admin
2020-02-27
118
问题
设向量组(Ⅰ)：α
1
，α
2
，…，α
m
，组(Ⅱ)：β
1
，β
2
，…，β
n
，其秩分别为γ
1
，γ
2
，向量组(Ⅲ)：α
1
，α
2
，…，α
m
，β
1
，β
2
，…，β
n
的秩为γ
3
，证明max｛γ
1
，γ
2
｝≤γ
3
≤γ
1
＋γ
2
．
选项
答案
分别取向量组(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)的最大无关组： 组(Ⅰ)′：α
i
1
，α
i
2
，…，α
i
r
1
；组(Ⅱ)′：β
j
1
，β
j
2
，…，β
j
r
2
； 组(Ⅲ)′：δ
t
1
，β
t
2
，…，β
t
r
2
又设组(Ⅳ)′：α
i
1
，α
i
2
，…，α
i
r
1
，β
j
1
，β
j
2
，…，β
j
r
2
因组(Ⅲ)能由(Ⅳ)′线性表出，其部分组(Ⅲ)′也能由(Ⅳ)′线性表出，且组(Ⅲ)′线性无关．对于组(Ⅲ)′与组(IV)′，有r
3
≤r
1
＋r
2
． 因组(Ⅰ)′、组(Ⅱ)′分别可由组(Ⅲ)′线性表出，且组(Ⅰ)′、组(Ⅱ)′分别线性无关，于是r
1
≤r
3
，r
2
≤r
3
，则max｛r
1
，r
2
｝≤r
3
．
解析
遇有一组向量可用另一组向量线性表出的题设或题断时，常取其最大无关组作出线性无关的向量组，利用有关结论证其相关命题．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/o3D4777K
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考研数学三
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