2. 考研
  3. 设向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αm，组(Ⅱ)：β1，β2，…，βn，其秩分别为γ1，γ2，向量组(Ⅲ)：α1，α2，…，αm，β1，β2，…，βn的秩为γ3，证明max｛γ1，γ2｝≤γ3≤γ1＋γ2．

设向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αm，组(Ⅱ)：β1，β2，…，βn，其秩分别为γ1，γ2，向量组(Ⅲ)：α1，α2，…，αm，β1，β2，…，βn的秩为γ3，证明max｛γ1，γ2｝≤γ3≤γ1＋γ2．

admin2020-02-27  141
问题 设向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αm，组(Ⅱ)：β1，β2，…，βn，其秩分别为γ1，γ2，向量组(Ⅲ)：α1，α2，…，αm，β1，β2，…，βn的秩为γ3，证明max｛γ1，γ2｝≤γ3≤γ1＋γ2．
选项
答案分别取向量组(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)的最大无关组： 组(Ⅰ)′：αi1，αi2，…，αir1；组(Ⅱ)′：βj1，βj2，…，βjr2； 组(Ⅲ)′：δt1，βt2，…，βtr2 又设组(Ⅳ)′：αi1，αi2，…，αir1，βj1，βj2，…，βjr2 因组(Ⅲ)能由(Ⅳ)′线性表出，其部分组(Ⅲ)′也能由(Ⅳ)′线性表出，且组(Ⅲ)′线性无关．对于组(Ⅲ)′与组(IV)′，有r3≤r1＋r2． 因组(Ⅰ)′、组(Ⅱ)′分别可由组(Ⅲ)′线性表出，且组(Ⅰ)′、组(Ⅱ)′分别线性无关，于是r1≤r3，r2≤r3，则max｛r1，r2｝≤r3．
解析 遇有一组向量可用另一组向量线性表出的题设或题断时，常取其最大无关组作出线性无关的向量组，利用有关结论证其相关命题．
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考研数学三

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