设向量组(Ⅰ):α1,α2,…,αm,组(Ⅱ):β1,β2,…,βn,其秩分别为γ1,γ2,向量组(Ⅲ):α1,α2,…,αm,β1,β2,…,βn的秩为γ3,证明max{γ1,γ2}≤γ3≤γ1+γ2.

admin2020-02-27  49

问题 设向量组(Ⅰ):α1,α2,…,αm,组(Ⅱ):β1,β2,…,βn,其秩分别为γ1,γ2,向量组(Ⅲ):α1,α2,…,αm,β1,β2,…,βn的秩为γ3,证明max{γ1,γ2}≤γ3≤γ1+γ2

选项

答案分别取向量组(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)的最大无关组: 组(Ⅰ)′:αi1,αi2,…,αir1;组(Ⅱ)′:βj1,βj2,…,βjr2; 组(Ⅲ)′:δt1,βt2,…,βtr2 又设组(Ⅳ)′:αi1,αi2,…,αir1,βj1,βj2,…,βjr2 因组(Ⅲ)能由(Ⅳ)′线性表出,其部分组(Ⅲ)′也能由(Ⅳ)′线性表出,且组(Ⅲ)′线性无关.对于组(Ⅲ)′与组(IV)′,有r3≤r1+r2. 因组(Ⅰ)′、组(Ⅱ)′分别可由组(Ⅲ)′线性表出,且组(Ⅰ)′、组(Ⅱ)′分别线性无关,于是r1≤r3,r2≤r3,则max{r1,r2}≤r3

解析 遇有一组向量可用另一组向量线性表出的题设或题断时,常取其最大无关组作出线性无关的向量组,利用有关结论证其相关命题.
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