设向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αm，组(Ⅱ)：β1，β2，…，βn，其秩分别为γ1，γ2，向量组(Ⅲ)：α1，α2，…，αm，β1，β2，…，βn的秩为γ3，证明max｛γ1，γ2｝≤γ3≤γ1＋γ2．

admin2020-02-27 101

问题设向量组(Ⅰ)：α₁，α₂，…，α_m，组(Ⅱ)：β₁，β₂，…，β_n，其秩分别为γ₁，γ₂，向量组(Ⅲ)：α₁，α₂，…，α_m，β₁，β₂，…，β_n的秩为γ₃，证明max｛γ₁，γ₂｝≤γ₃≤γ₁＋γ₂．

选项

答案分别取向量组(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)的最大无关组：组(Ⅰ)′：α_i₁，α_i₂，…，α_{i_r₁}；组(Ⅱ)′：β_j₁，β_j₂，…，β_{j_r₂}；组(Ⅲ)′：δ_t₁，β_t₂，…，β_{t_r₂} 又设组(Ⅳ)′：α_i₁，α_i₂，…，α_{i_r₁}，β_j₁，β_j₂，…，β_{j_r₂} 因组(Ⅲ)能由(Ⅳ)′线性表出，其部分组(Ⅲ)′也能由(Ⅳ)′线性表出，且组(Ⅲ)′线性无关．对于组(Ⅲ)′与组(IV)′，有r₃≤r₁＋r₂．因组(Ⅰ)′、组(Ⅱ)′分别可由组(Ⅲ)′线性表出，且组(Ⅰ)′、组(Ⅱ)′分别线性无关，于是r₁≤r₃，r₂≤r₃，则max｛r₁，r₂｝≤r₃．

解析遇有一组向量可用另一组向量线性表出的题设或题断时，常取其最大无关组作出线性无关的向量组，利用有关结论证其相关命题．

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考研数学三

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设向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αm，组(Ⅱ)：β1，β2，…，βn，其秩分别为γ1，γ2，向量组(Ⅲ)：α1，α2，…，αm，β1，β2，…，βn的秩为γ3，证明max｛γ1，γ2｝≤γ3≤γ1＋γ2．

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