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设向量组(Ⅰ):α1,α2,…,αm,组(Ⅱ):β1,β2,…,βn,其秩分别为γ1,γ2,向量组(Ⅲ):α1,α2,…,αm,β1,β2,…,βn的秩为γ3,证明max{γ1,γ2}≤γ3≤γ1+γ2.
设向量组(Ⅰ):α1,α2,…,αm,组(Ⅱ):β1,β2,…,βn,其秩分别为γ1,γ2,向量组(Ⅲ):α1,α2,…,αm,β1,β2,…,βn的秩为γ3,证明max{γ1,γ2}≤γ3≤γ1+γ2.
admin
2020-02-27
81
问题
设向量组(Ⅰ):α
1
,α
2
,…,α
m
,组(Ⅱ):β
1
,β
2
,…,β
n
,其秩分别为γ
1
,γ
2
,向量组(Ⅲ):α
1
,α
2
,…,α
m
,β
1
,β
2
,…,β
n
的秩为γ
3
,证明max{γ
1
,γ
2
}≤γ
3
≤γ
1
+γ
2
.
选项
答案
分别取向量组(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)的最大无关组: 组(Ⅰ)′:α
i
1
,α
i
2
,…,α
i
r
1
;组(Ⅱ)′:β
j
1
,β
j
2
,…,β
j
r
2
; 组(Ⅲ)′:δ
t
1
,β
t
2
,…,β
t
r
2
又设组(Ⅳ)′:α
i
1
,α
i
2
,…,α
i
r
1
,β
j
1
,β
j
2
,…,β
j
r
2
因组(Ⅲ)能由(Ⅳ)′线性表出,其部分组(Ⅲ)′也能由(Ⅳ)′线性表出,且组(Ⅲ)′线性无关.对于组(Ⅲ)′与组(IV)′,有r
3
≤r
1
+r
2
. 因组(Ⅰ)′、组(Ⅱ)′分别可由组(Ⅲ)′线性表出,且组(Ⅰ)′、组(Ⅱ)′分别线性无关,于是r
1
≤r
3
,r
2
≤r
3
,则max{r
1
,r
2
}≤r
3
.
解析
遇有一组向量可用另一组向量线性表出的题设或题断时,常取其最大无关组作出线性无关的向量组,利用有关结论证其相关命题.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/o3D4777K
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考研数学三
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