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  3. 已知函数f(x，y)在点（0，0)的某个邻域内连续，且，则( )。

已知函数f(x，y)在点（0，0)的某个邻域内连续，且，则( )。

admin2015-03-23  38
问题 已知函数f(x，y)在点（0，0)的某个邻域内连续，且，则(       )。
选项 A、点(0，0)不是f(x，y)的极值点
B、点(0，0)是f(x，y)的极大值点
C、点(0，0)是f(x，y)的极小值点
D、根据所给条件无法判断点(0，0)是否为f(x，y)的极值点
答案A
解析 由题设，容易推知f(0，0)=0，因此点(0，0)是否为f(x，y)的极值点，关键看在点(0，0)的充分小的邻域内f(x，y)是恒大于零、恒小于零还是变号。
    由知，分子的极限必为零，从而有f(0，0)=0，且f(x，y)一xy≈ (x2+y2)2(｜x｜，｜y｜充分小时)，于是f(x，y)一f(0，0)≈xy+(x2+y2)2。
    可见当y=x且｜x｜充分小时，f(x，y)一f(0，0)≈x2+4x4＞0；
    而当y=一x且｜x｜充分小时，f(x，y)一f(0，0)≈一x2+4x4＜0。
    故点(0，0)不是f(x，y)的极值点。
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