2. 考研
  3. 设函数f(x)在闭区间[一1，1]上具有三阶连续导数，且f(-1)=0，f(1)=1，f’(0)=0，证明：在开区间(一1，1)内至少存在一点ξ，使f"’(ξ)=3。

设函数f(x)在闭区间[一1，1]上具有三阶连续导数，且f(-1)=0，f(1)=1，f’(0)=0，证明：在开区间(一1，1)内至少存在一点ξ，使f"’(ξ)=3。

admin2021-12-15  24
问题 设函数f(x)在闭区间[一1，1]上具有三阶连续导数，且f(-1)=0，f(1)=1，f’(0)=0，证明：在开区间(一1，1)内至少存在一点ξ，使f"’(ξ)=3。
选项
答案由f(x)有三阶导数，故应该考虑泰勒公式， 又注意到f’(0)=0，应在x=0处展开： [*] 当x=1时，1=f(1)=f(0)+[*] 当x=一1时，0=f(一1)=f(0)+[*] 则两式相加可得：f"’(η1)+f"’(η2)=6 由f"’(x)的连续性，f"’(η1)+f"’(η2)=6在闭区间[η1，η2]上有最大值M和最小值m， 则有介值定理可得：m≤[*][f"’(η1)+f"’(η2)]≤M 故必在开区间(一1，1)内至少存在一点ξ，使f"’(ξ)=3。
解析
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经济类联考综合能力

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