设f(x)在[a,b]上存在二阶导数,f(a)=f(b)=0,并满足f”(x)﹢[f’(x)]2-4f(x)=0.则在区间(a,b)内f(x) ( )

admin2020-02-28  32

问题 设f(x)在[a,b]上存在二阶导数,f(a)=f(b)=0,并满足f(x)﹢[f(x)]2-4f(x)=0.则在区间(a,b)内f(x)    (    )

选项 A、存在正的极大值,不存在负的极小值.
B、存在负的极小值,不存在正的极大值.
C、既有正的极大值,又有负的极小值.
D、恒等于零.

答案D

解析 设存在x0∈(a,b),f(x0)﹥0且为f(x)的极大值,于是f(x0)=0,代入所给方程得f(x0)=4f(x0)﹥0,则f(x0)为极小值,矛盾,进一步可知不存在c∈(a,b),使f(c)﹥0,因若不然,由于f(a)=f(b)=0,推知在(a,b)内f(x)存在正的最大值,同时也是极大值,与已证矛盾.
类似地可证,f(x)在(a,b)内取不到负值.
于是只能选(D).当然,f(x)=0是满足所给方程的.
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