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已知抛物线y2=4x的焦点为F． 求证：存在正数a，使得过点P(a，0)且与已知抛物线有两个交点A、B的任一直线，均满足
已知抛物线y2=4x的焦点为F． 求证：存在正数a，使得过点P(a，0)且与已知抛物线有两个交点A、B的任一直线，均满足
admin
2019-01-23
73
问题
已知抛物线y
2
=4x的焦点为F．
求证：存在正数a，使得过点P(a，0)且与已知抛物线有两个交点A、B的任一直线，均满足
选项
答案
由已知得，F的坐标为(1，0)． 设过点P(a，0)的直线Z与抛物线的交点A、B的坐标分别为(x
1
，y
1
)、(x
2
，y
2
)， 另设直线l的方程为x=my+a(a＞0)，则由[*]得，y
2
一4my一4a=0， 因为直线l与已知抛物线有两个交点， 故△=16m
2
一4×(一4a)=16(m
2
+a)＞0，且[*] 又因为[*]=(x
1
一1，y
1
)，[*]=(x
2
一1，y
2
)， 则要证[*]=(x
1
一1)(x
2
—1)+y
1
y
2
=x
1
x
2
一(x
1
+x
2
)+1+y
1
y
2
＜0， 而[*]，则上式化为[*][(y
1
+y
2
)
2
一2y
1
y
2
]+1+y
1
y
2
＜0 将[*]代入得，a
2
一6a+1＜4m
2
， 又因为4m
2
≥0，故a
2
一6a+1＜4m
2
若想对于一切m均成立，则a
2
一6a+1＜0， 由于△=(一6)
2
一4=32＞0， 故存在正数a，使得过点P(a，0)且与已知抛物线有两个交点A、B的任一直线，均满足[*]
解析
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