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  3. 已知抛物线y2=4x的焦点为F． 求证：存在正数a，使得过点P(a，0)且与已知抛物线有两个交点A、B的任一直线，均满足

已知抛物线y2=4x的焦点为F． 求证：存在正数a，使得过点P(a，0)且与已知抛物线有两个交点A、B的任一直线，均满足

admin2019-01-23  50
问题 已知抛物线y2=4x的焦点为F．
求证：存在正数a，使得过点P(a，0)且与已知抛物线有两个交点A、B的任一直线，均满足
选项
答案由已知得，F的坐标为(1，0)． 设过点P(a，0)的直线Z与抛物线的交点A、B的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)， 另设直线l的方程为x=my+a(a＞0)，则由[*]得，y2一4my一4a=0， 因为直线l与已知抛物线有两个交点， 故△=16m2一4×(一4a)=16(m2+a)＞0，且[*] 又因为[*]=(x1一1，y1)，[*]=(x2一1，y2)， 则要证[*]=(x1一1)(x2—1)+y1y2=x1x2一(x1+x2)+1+y1y2＜0， 而[*]，则上式化为[*][(y1+y2)2一2y1y2]+1+y1y2＜0 将[*]代入得，a2一6a+1＜4m2， 又因为4m2≥0，故a2一6a+1＜4m2若想对于一切m均成立，则a2一6a+1＜0， 由于△=(一6)2一4=32＞0， 故存在正数a，使得过点P(a，0)且与已知抛物线有两个交点A、B的任一直线，均满足[*]
解析
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