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已知抛物线y2=4x的焦点为F. 求证:存在正数a,使得过点P(a,0)且与已知抛物线有两个交点A、B的任一直线,均满足
已知抛物线y2=4x的焦点为F. 求证:存在正数a,使得过点P(a,0)且与已知抛物线有两个交点A、B的任一直线,均满足
admin
2019-01-23
42
问题
已知抛物线y
2
=4x的焦点为F.
求证:存在正数a,使得过点P(a,0)且与已知抛物线有两个交点A、B的任一直线,均满足
选项
答案
由已知得,F的坐标为(1,0). 设过点P(a,0)的直线Z与抛物线的交点A、B的坐标分别为(x
1
,y
1
)、(x
2
,y
2
), 另设直线l的方程为x=my+a(a>0),则由[*]得,y
2
一4my一4a=0, 因为直线l与已知抛物线有两个交点, 故△=16m
2
一4×(一4a)=16(m
2
+a)>0,且[*] 又因为[*]=(x
1
一1,y
1
),[*]=(x
2
一1,y
2
), 则要证[*]=(x
1
一1)(x
2
—1)+y
1
y
2
=x
1
x
2
一(x
1
+x
2
)+1+y
1
y
2
<0, 而[*],则上式化为[*][(y
1
+y
2
)
2
一2y
1
y
2
]+1+y
1
y
2
<0 将[*]代入得,a
2
一6a+1<4m
2
, 又因为4m
2
≥0,故a
2
一6a+1<4m
2
若想对于一切m均成立,则a
2
一6a+1<0, 由于△=(一6)
2
一4=32>0, 故存在正数a,使得过点P(a,0)且与已知抛物线有两个交点A、B的任一直线,均满足[*]
解析
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