设函数f(x)在(0，﹢∞)内可导，f(x)﹥0， f(π/2)＝x∈(0，﹢∞)。求： (Ⅰ)f(x)； (Ⅱ)定义数列xn＝0nπf(t)dt，证明数列{xn}收敛。

admin2019-12-06 57

问题设函数f(x)在(0，﹢∞)内可导，f(x)﹥0，
f(π/2)＝

x∈(0，﹢∞)。求：
(Ⅰ)f(x)；
(Ⅱ)定义数列x_n＝₀^nπf(t)dt，证明数列{x_n}收敛。

选项

答案(Ⅰ)题设等式左端的极限为1^∞型，故 [*] 则[*]，把sinx移到右边，两边同时积分得f(x)＝[*]，x∈(0，﹢∞)。由[*]得C＝4。综上[*]。 (Ⅱ)由题意得x_n＝[*]，记F(x)＝[*]﹥0(x≠nπ)， →F(x)在(0，﹢∞)单调递增，故x_n＝F(nπ)是单调递增。又0﹤x_n＝[*]，而[*]﹤4，于是x_n有界。因此，{x_n}单调有界必收敛。

解析

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