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设函数f(x)在(0,﹢∞)内可导,f(x)﹥0, f(π/2)=x∈(0,﹢∞)。求: (Ⅰ)f(x); (Ⅱ)定义数列xn=0nπf(t)dt,证明数列{xn}收敛。
设函数f(x)在(0,﹢∞)内可导,f(x)﹥0, f(π/2)=x∈(0,﹢∞)。求: (Ⅰ)f(x); (Ⅱ)定义数列xn=0nπf(t)dt,证明数列{xn}收敛。
admin
2019-12-06
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问题
设函数f(x)在(0,﹢∞)内可导,f(x)﹥0,
f(π/2)=
x∈(0,﹢∞)。求:
(Ⅰ)f(x);
(Ⅱ)定义数列x
n
=
0
nπ
f(t)dt,证明数列{x
n
}收敛。
选项
答案
(Ⅰ)题设等式左端的极限为1
∞
型,故 [*] 则[*], 把sinx移到右边,两边同时积分得f(x)=[*],x∈(0,﹢∞)。由[*]得C=4。 综上[*]。 (Ⅱ)由题意得x
n
=[*],记F(x)=[*]﹥0(x≠nπ), →F(x)在(0,﹢∞)单调递增,故x
n
=F(nπ)是单调递增。 又0﹤x
n
=[*], 而[*]﹤4,于是x
n
有界。因此,{x
n
}单调有界必收敛。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/oTA4777K
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考研数学二
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