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设f(x)在[a,b]上可导,f’(x)+[f(x)]2-∫axf(t)dt=0,且∫abf(t)dt=0。证明: ∫axf(t)dt在(a,b)的极大值不能为正,极小值不能为负;
设f(x)在[a,b]上可导,f’(x)+[f(x)]2-∫axf(t)dt=0,且∫abf(t)dt=0。证明: ∫axf(t)dt在(a,b)的极大值不能为正,极小值不能为负;
admin
2018-01-30
69
问题
设f(x)在[a,b]上可导,f
’
(x)+[f(x)]
2
-∫
a
x
f(t)dt=0,且∫
a
b
f(t)dt=0。证明:
∫
a
x
f(t)dt在(a,b)的极大值不能为正,极小值不能为负;
选项
答案
记F(x)=∫
a
x
f(t)dt,假设F(x)在(a,b)内能取到正的极大值,且记该极大值点为x
0
,于是F
’
(x
0
)=0,F(x
0
)>0,即f(x
0
)=0,∫
a
x
0
f(t)dt>0。 在方程f
’
(x)+[f(x)]
2
一∫
a
x
f(t)dt=0中令x=x
0
,得F
’’
(x
0
)=∫
a
x
0
f(t)dt>0,故F(x
0
)应是极小值,这与假设矛盾。所以∫
a
x
f(t)dt在(a,b)的极大值不能为正,极小值不能为负。
解析
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0
考研数学二
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