证明狄利克雷函数D(x)=在[0，1]上有界但不可积．

admin2022-11-23 15

问题证明狄利克雷函数D(x)=

在[0，1]上有界但不可积．

选项

答案显然｜D(x)｜≤1，x∈[0，1]．即D(x)在[0，1]上有界．对于[0．1]的任一分割T，由有理数和无理数在实数中的稠密性，在属于T的任一小区间△_i上，当取ξ_i全为有理数时，[*]当取ξ_i全为无理数时，[*]所以不论‖T‖多么小，只要点集{ξ_i}取法不同(全取有理数或全取无理数)，积分和有不同极限，即D(x)在[0，1]上不可积．

解析

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