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设f(x)=, (Ⅰ)若f(x)处处连续,求a,b的值; (Ⅱ)若a,b不是(Ⅰ)中求出的值时f(x)有何间断点,并指出它的类型.
设f(x)=, (Ⅰ)若f(x)处处连续,求a,b的值; (Ⅱ)若a,b不是(Ⅰ)中求出的值时f(x)有何间断点,并指出它的类型.
admin
2017-05-31
44
问题
设f(x)=
,
(Ⅰ)若f(x)处处连续,求a,b的值;
(Ⅱ)若a,b不是(Ⅰ)中求出的值时f(x)有何间断点,并指出它的类型.
选项
答案
(Ⅰ)首先求出f(x).注意到 [*] 故要分段求出f(x)的表达式. 当|x|>1时,f(x)=[*] 当|x|<1时,f(x)=[*]=ax
2
+bx. 于是得 [*] 其次,由初等函数的连续性知f(x)分别在(-∞,-1),(-1,1),(1,+∞)上连续. 最后,只需考察f(x)在分界点x=±1处的连续性.这就要按定义考察连续性,分别计算: [*] 从而f(x)在x=1连续 <=>(1+0)=f(1-0)=f(1)<=>a+b=1=[*](a+b+1)<=>a+b=1: f(x)在x=-1连续 <=>(-1+0)=f(-1-0)=f(-1)<=>a-b=-1=[*](a-b-1)<=>a-b=-1. 因此f(x)在x=±1均连续<=>[*]<=>a=0,b=1.当且仅当a=0,b=1时f(x)处处连续. (Ⅱ)当(a,b)≠(0,1)时,若a+b=1(则a-b≠-1),则x=1是连续点,只有x=-1是间断点,且是第一类间断点;若a-b=-1(则a+b≠1),则x=-1是连续点,只有间断点x=1,且是第一类间断点;若a-b≠-1目a+b≠1,则x=1,x=-1均是第一类间断点。
解析
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考研数学二
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