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设3阶实对称矩阵A的特征值是1,2,3,矩阵A的属于特征值1,2的特征向量分别是a1=(-1,-1,1)T,a2=(1,-2,-1)T. (Ⅰ)求A的属于特征值3的特征向量; (Ⅱ)求矩阵A.
设3阶实对称矩阵A的特征值是1,2,3,矩阵A的属于特征值1,2的特征向量分别是a1=(-1,-1,1)T,a2=(1,-2,-1)T. (Ⅰ)求A的属于特征值3的特征向量; (Ⅱ)求矩阵A.
admin
2013-08-26
75
问题
设3阶实对称矩阵A的特征值是1,2,3,矩阵A的属于特征值1,2的特征向量分别是a
1
=(-1,-1,1)
T
,a
2
=(1,-2,-1)
T
.
(Ⅰ)求A的属于特征值3的特征向量;
(Ⅱ)求矩阵A.
选项
答案
(Ⅰ)由题设,实对称矩阵A的三个特征值不同,则相应的特征向量彼此正交,设A的属于特征值3的特征向量为a
3
=(x
1
,x
2
,x
3
)
T
,则a
3
T
a
3
=0且a
2
T
a
3
=0, 写成线性方程组的形式为[*],其中C为任意非零常数,所以A的属于特征值3的特征向量为a
3
=C(1,0,1)
T
. (Ⅱ)由于实对称阵必可对角化,即存在可逆矩阵P,使P
-1
AP=[*] 且由前述可令[*] 先求出P
-1
=[*] 则[*]
解析
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考研数学三
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