2. 考研
  3. 设矩阵A，B满足A*BA=2B4—8E，其中，E为单位矩阵，A*为A的伴随矩阵，则B=_______．

设矩阵A，B满足A*BA=2B4—8E，其中，E为单位矩阵，A*为A的伴随矩阵，则B=_______．

admin2015-09-12  55
问题 设矩阵A，B满足A*BA=2B4—8E，其中，E为单位矩阵，A*为A的伴随矩阵，则B=_______．
选项
答案[*]
解析 解1  由题设等式得
    (A*一2E)EA=一8E
    两端左乘A，并利用AA*=∣A∣E=一2E，得(一2E一2A)BA=一8A
    即
    (E+A)BA=4A
    两端右乘A-1，得
    (E+A)B=4E
    故
   
　　解2  由题设等式得
    (A*一2E)EA=一8E
    由此可知(A*一2E)及A都可逆，两端左乘(A*一2E)-1，两端右乘A-1，得
    B=一8(A*一2E)-1A-1=一8[A(A*一2E)]-1=一8(AA*一2A)-1
   
　　解3  同解2，由题设等式可得
    B=一8(A*一2E)-1A-1
    而
    故
本题综合考查矩阵的运算及伴随矩阵的概念．注意，求解矩阵方程，一般要先作“字母运算”，进行化简整理，然后再作数值计算．特别注意，在有关A*的运算中，往往要利用公式AA*=A*A=∣A∣E进行化简．
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考研数学三

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