设y1=ex/2+e-x+ex，y2=2e-x+ex，y3=ex/2+ex是某二阶常系数非齐次线性微分方程的解，则该方程的通解是( )

admin2016-02-27 64

问题设y₁=e^x/2+e^-x+e^x，y₂=2e^-x+e^x，y₃=e^x/2+e^x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的解，则该方程的通解是( )

选项 A、y=C₁e^x/2+C₂e^-x+2e^x/2+e^-x+e^x。
B、y=C₁e^x/2+C₂e^-x+2e^x/2+e^-x。
C、y=C₁e^-x+C₂e^x+3e^x/2。
D、y=C₁e^x/2+C₂e^-x+2e^x。

答案A

解析由解的结构定理，知y₁-y₃=e^-x是对应的齐次方程的解。y₁-y₂=e^x/2-e^-x也是对应的齐次方程的解，从而y=e^x/2是齐次方程的解，且e^x/2与e^-x线性无关，即对应的齐次方程的通解为y=C₁e^x/2+C₂e^-x。比较四个选项，只有A选项符合非齐次线性微分方程的解的结构，故选A。

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