设αi=(ai,bi,ci)T,i=1,2,3,α=(d1,d2,d3)T,则三个平面a1x+b1y+c1z+d1=0 a2x+b2y+c2z+d2=0 a3x+b3y+c3z+d3=0 两两相交成三条平行直线的充分必要条件是( )

admin2020-03-01  29

问题 设αi=(ai,bi,ci)T,i=1,2,3,α=(d1,d2,d3)T,则三个平面a1x+b1y+c1z+d1=0
a2x+b2y+c2z+d2=0
a3x+b3y+c3z+d3=0
两两相交成三条平行直线的充分必要条件是(    )

选项 A、r(α123)=1,r(α123,α)=2.
B、r(α123)=2,r(α123,α)=3.
C、α123中任意两个均线性无关,且α不能由α123线性表出.
D、α123线性相关,且α不能由α123线性表示.

答案C

解析 选项A:r(α123)=1,表明三个平面的法向量平行,从而三个平面相互平行(或重合).又r(α123,α)=2,表明三个平面没有公共的交点,因为这三个平面两两平行,至多有两个重合.选项A是必要不充分条件.选项B:当三个平面两两相交成三条平行直线时,必有r(α123)=2,r(α123,α)=3,但当r(α123)=2,r(α123,α)=3时,有可能其中两个平面平行,第3个平面和它们相交,所以选项B是必要不充分条件.选项C:α123中任意两个均线性无关→任何两个平面都不平行相交成一条直线,而α不能由α123,线性表出→三个平面没有公共交点.选项C是充分必要条件.选项D:选项D→选项A或B,故选项D是必要不充分条件.综上选C.
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