设A,B,C为三个随机事件,且A与C相互独立,B与C相互独立,则A∪B与C相互独立的充分必要条件是( ).

admin2022-11-28  27

问题 设A,B,C为三个随机事件,且A与C相互独立,B与C相互独立,则A∪B与C相互独立的充分必要条件是(          ).

选项 A、A与B相互独立
B、A与B互不相容
C、AB与C相互独立
D、AB与C互不相容

答案C

解析 由题设知,P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C).
 若A∪B与C相互独立,则
 P[(A∪B)∩C]=P(A∪B)P(C)=[P(A)+P(B)-P(AB)]·P(C)
 =P(AC)+P(BC)-P(AB)·P(C).
 而    P[(A∪B)∩C]=P(AC∪BC)=P(AC)+P(BC)-P(ABC),
 从而可得P(ABC)=P(AB)P(C),即AB与C相互独立.反之也成立.
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