设A，B，C为三个随机事件，且A与C相互独立，B与C相互独立，则A∪B与C相互独立的充分必要条件是( )．

admin2022-11-28 33

问题设A，B，C为三个随机事件，且A与C相互独立，B与C相互独立，则A∪B与C相互独立的充分必要条件是( )．

选项 A、A与B相互独立
B、A与B互不相容
C、AB与C相互独立
D、AB与C互不相容

答案C

解析由题设知，P(AC)=P(A)P(C)，P(BC)=P(B)P(C)．
　若A∪B与C相互独立，则
　P[(A∪B)∩C]=P(A∪B)P(C)=[P(A)+P(B)-P(AB)]·P(C)
　=P(AC)+P(BC)-P(AB)·P(C)．
　而 P[(A∪B)∩C]=P(AC∪BC)=P(AC)+P(BC)-P(ABC)，
　从而可得P(ABC)=P(AB)P(C)，即AB与C相互独立．反之也成立．

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