求微分方程y"一3y’一4y=(10x一7)e一x+34sinx的通解．

admin2016-12-16 68

问题求微分方程y"一3y’一4y=(10x一7)e^一x+34sinx的通解．

选项

答案设y₁^*(x)与y₂^*(x)分别是方程 y"+p(x)y’+q(x)y=f₁(x)与y"+p(x) y’+q(x)y=f₂(x) 的特解，则 y^*(x)=y₁^*(x)+y₂^*(x) 是方程 y"+p(x) y’+q(x) y=f₁(x)+f₂(x)的特解．解齐次方程y"一3y’一4y=0的特征方程为 λ²一3λ一4=0，由此求得特征根λ₁=4，λ₂=一1．对应齐次方程的通解为 y=C₁e^4x+Ce^一x．则f₁(x)=(10x一7)e^一x的特解形式为 y₁^*=x(A+Bx)e^一x=(Ax+Bx²)e^一x ，f₂(x)=34sinx的特解形式为 y₂=Csinx+Dcosx．于是由叠加原理知，非齐次方程的特解为 y^*=y₁^*+y₂^*=(Ax+Bx²)e^一x+Csinx+Dcosx，则 (y^*)’=(A+2Bx一Ax一Bx²)e^一x+Ccosx一Dsinx， (y^*)"=(2B一2A一4Bx+Ax+Bx²)e^一x一Ccosx一Dsinx，代入原方程，求得A=1，B=一1，C=一5，D=3，从而 y^*=x(1一x)e^一x一5sinx+3cosx．于是原方程的通解为 y=Y+y^*=C₁A^4x+(C₂+x一x²)e^一x一5 sinx+3cosx．

解析利用二阶非齐次线性方程解的叠加原理求之．

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考研数学三

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