设A，B均为n阶非零矩阵，且A2+A=0，B2+B=0，证明若AB=BA=0，ξ1，ξ2分别是A，B属于特征值λ=－1的特征向量，则ξ1，ξ2线性无关．

admin2016-04-29 58

问题设A，B均为n阶非零矩阵，且A²+A=0，B²+B=0，证明
若AB=BA=0，ξ₁，ξ₂分别是A，B属于特征值λ=－1的特征向量，则ξ₁，ξ₂线性无关．

选项

答案由ξ₁是矩阵A属于λ=－1的特征向量，即Aξ₁=－ξ₁．等式两边左乘B，得B Aξ₁=－Bξ₁．又BA=0，从而B Aξ₁=0ξ₁，于是－Bξ₁=0ξ₁，所以ξ₁是矩阵B属于λ=0的特征向量．又ξ₂是矩阵B属于λ=－1的特征向量，由不同特征值的特征向量线性无关，得证ξ₁，ξ₂线性无关．

解析

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考研数学三

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