设f(x)在点x=0的某邻域内连续，f(0)=0，=2，则在x=0处f(x)必定( )．

admin2019-06-11 51

问题设f(x)在点x=0的某邻域内连续，f(0)=0，

=2，则在x=0处f(x)必定( )．

选项 A、不可导
B、可导且f(0)≠0
C、取得极大值
D、取得极小值

答案D

解析先研究f(x)在点x=0处的可导性．
由于f(0)=0，且

=2，可得

由于上面分式的分母极限为零，则其分子极限也必定为零(或当x→0时，

～x)，
即

可知f’(0)=0，因此A，B都不正确．
此时知x=0为f(x)的驻点．又由

f(x)／x²=1，由极限基本定理可知
f(x)／x²=1+α(当x→0时，α为无穷小量)，
因此可知f(x)=x²+o(x²)，对任意x≠0，都有
f(x)＞0=f(0)，
可知f(0)为f(x)的极小值．故选D．

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