2. 考研
  3. 设A，B是n阶实对称可逆矩阵，则存在n阶可逆阵P，使得下列关系式 ①PA=B； ②P－1ABP=BA； ③P－1AP=B； ④PTA2P=B2 成立的个数是 ( )

设A，B是n阶实对称可逆矩阵，则存在n阶可逆阵P，使得下列关系式 ①PA=B； ②P－1ABP=BA； ③P－1AP=B； ④PTA2P=B2 成立的个数是 ( )

admin2019-02-18  20
问题 设A，B是n阶实对称可逆矩阵，则存在n阶可逆阵P，使得下列关系式
    ①PA=B；    ②P－1ABP=BA；    ③P－1AP=B；    ④PTA2P=B2
成立的个数是    (    )
选项 A、1
B、2
C、3
D、4
答案C
解析 逐个分析关系式是否成立．
    ①式成立．因为A，B均是N阶可逆矩阵，故存在可逆矩阵Q，w，使QA=E，WB=E(可逆矩阵可通过初等行变换化为单位矩阵)，故有QA=WB，W－1QA=B．记W－1Q=P，则有PA=B成立，故①式成立．
    ②式成立．因为A，B均是n阶可逆矩阵，可取P=A，则有A－1(AB)A=(A－1A)BA=BA，故②式成立．
    ③式不成立．因为A，B均是n阶实对称矩阵，它们均可以相似于对角阵，但不一定相似于同一个对角阵，即A，B不一定相似．例如

(均满足题设的实对称可逆阵的要求)，
但对任意可逆阵P，均有P－1AP=P－1EP=E≠B，故③式不成立．
    ④式成立．因为A，B均是实对称可逆矩阵，其特征值均不为零，A2，B2的特征值均大于零．故A2，B2的正惯性指数为n(秩为n，负惯性指数为0)，故A2B2，即存在可逆阵P，使得PTA2P=B2．故④式成立．
由以上分析，故应选C．
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考研数学一

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