设矩阵Am×n经过若干次初等行变换后得到B，以下4个结论中正确的是( ) ①A的行向量组均可由B的行向量组线性表示； ②A的列向量组均可由B的列向量组线性表示； ③B的行向量组均可由A的行向量组线性表示； ④B的列向量组均可由A的列向量组线性表示．

admin2017-09-07 23

问题设矩阵A_m×n经过若干次初等行变换后得到B，以下4个结论中正确的是( )
①A的行向量组均可由B的行向量组线性表示；
②A的列向量组均可由B的列向量组线性表示；
③B的行向量组均可由A的行向量组线性表示；
④B的列向量组均可由A的列向量组线性表示．

选项 A、①、②．
B、③、④．
C、②、③．
D、①、③．

答案D

解析由题设，A经初等行变换得到B，知有初等矩阵P₁，P₂，…，P_s，使得P_s.….P₂P₁A=B．记P=P_s.….P₂P₁，则P=(p_ij)_m×m是可逆矩阵，将A，B均按行向量分块，有

这表明p_i1α₁+p_i2α₂+…+p_imα_m=β_i(i=1，2，…，m)，故B的行向量组均可由A的行向量组线性表示；因P=(p_ij)_m×m是可逆矩阵，所以两边同乘P^-1，得

，故A的行向量组均可由B的行向量组线性表示．所以选D．

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考研数学一

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