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已知平面直角坐标系中抛物线的方程为x2=4y,点P坐标为(0,-2),若过点P的直线与抛物线相切,求出满足条件的直线方程. 若将这个问题作为一个教学例题,请仔细阅读下面的教学设计提纲,并概括其中包含的主要数学思想方法、知识要点以及新课程理念.
已知平面直角坐标系中抛物线的方程为x2=4y,点P坐标为(0,-2),若过点P的直线与抛物线相切,求出满足条件的直线方程. 若将这个问题作为一个教学例题,请仔细阅读下面的教学设计提纲,并概括其中包含的主要数学思想方法、知识要点以及新课程理念.
admin
2018-01-26
24
问题
已知平面直角坐标系中抛物线的方程为x
2
=4y,点P坐标为(0,-2),若过点P的直线与抛物线相切,求出满足条件的直线方程.
若将这个问题作为一个教学例题,请仔细阅读下面的教学设计提纲,并概括其中包含的主要数学思想方法、知识要点以及新课程理念.
(一)组织学生认真阅读题目,并画出示意图;
(二)引导学生提出解决问题的基本思路:
将直线方程设为y=kx+b,分类讨论k=0与斜率不存在时的直线方程,然后根据条件求出k和b的值.
(三)让学生分组讨论,引导学生去发现满足“直线与抛物线相切”的条件即为两方程联立之后得到的方程有且只有一个实数根.
(四)引导成绩靠后的同学求解过点P(0,-2)的直线方程.学生的解答过程如下:
将点P的坐标代入y=kx+b,解得k×0+b=-2,b=-2.则过点P的方程为y=kx-2.
(五)引导学习成绩处于中等层次的学生,联立方程组并化简.解答过程如下:
即为x
2
=4(kx-2),化简可得x
2
-4kx+8=0.
(六)引导学习成绩较好的学生,得出求解过程:
要满足两直线相切,即为方程x
2
-4kx+8=0有且只有一个实数根,则△=16k
2
-32=0,解得
则与抛物线x
2
=4y相切的直线有两条,其直线方程分别为
和
选项
答案
该教学设计提纲中包含的主要数学思想方法是数形结合; 涉及的主要知识要点是直线的方程、抛物线与直线的位置关系、求解方程. 在该教学设计中包含的新课程理念有:教师转变了自身角色,成为数学学习活动的组织者、引导者、合作者,如教师引导学生提出解题思路,并让学生分组讨论,而并不是直接给出答案;教师充分理解了因材施教的思想,正确认识学生的个体差异,在教学活动中使不同层次的学生均衡发展,如教师有针对性地让不同层次的学生解决不同的问题,而不是一刀切.
解析
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