己知函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1,证明: 存在两不同的点η,σ∈(0,1),使得f′(η)f′(σ)=1.

admin2016-03-02  23

问题 己知函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1,证明:
存在两不同的点η,σ∈(0,1),使得f′(η)f′(σ)=1.

选项

答案因为f(x)在[0,ξ],[ξ,1]上连续,在(0,ξ),(ξ,1)内可导, 所以由拉格朗日中值定理知,至少分别存在一点η∈(0,ξ),σ∈(ξ,1),使得 f(ξ)-f(0)=f′(η)ξ,f(1)一f(ξ)=f′(σ)(1一ξ) 所以f′(η)f′(σ)=[*]=1

解析
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