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考研
证明:A~B,其中并求可逆阵P,使得P-1AP=B.
证明:A~B,其中并求可逆阵P,使得P-1AP=B.
admin
2015-08-14
37
问题
证明:A~B,其中
并求可逆阵P,使得P
-1
AP=B.
选项
答案
由A知,A的全部特征值是1,2,…,n,互不相同,故A相似于由其特征值组成的对角阵B. 由于λ
1
=1时,(λ
1
E-A)X=0,有特征向量ξ
1
=[1,0,…,0]
T
; λ
2
=2时,(λ
2
E-A)X=0,有特征向量ξ
2
=[0,1,…,0]
T
; … λ
n
=n时,(λ
n
E-A)X=0,有特征向量ξ
n
=[0,0,…,1]
T
. 故有 Aξ
n
=nξ
n
,Aξ
n-1
=(n一1)ξ
n-1
,…,Aξ
1
=ξ
1
, 即 A[ξ
n
,ξ
n-1
…,ξ
1
]=[nξ
n
,(n-1)ξ
n-1
…,ξ
1
]=[ξ
n
,ξ
n-1
,…,ξ
1
][*] 故得可逆阵[*] 有P
-1
AP=B.
解析
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考研数学二
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